پرش به محتویات

سیستم‌های غیرخطی

دستگاه‌های خطیِ فصلِ پیش زیبا و کامل‌اند، اما مدل‌های واقعی تقریباً همیشه غیرخطی‌اند. خبرِ خوب این است که نزدیکِ یک نقطهٔ ثابت، یک دستگاهِ غیرخطیِ هموار خطی به نظر می‌رسد — و همین به ما اجازه می‌دهد همهٔ ابزارِ خطیِ فصلِ پیش را به کار بریم. کلیدِ این کار، تعمیمِ مشتق به چند بُعد است: ماتریسِ ژاکوبی.

در پایانِ این فصل خواهید توانست
  • نقاطِ ثابتِ یک دستگاهِ غیرخطی را به‌صورتِ عددی بیابید.
  • ماتریسِ ژاکوبی را به‌عنوانِ بهترین تقریبِ خطیِ جریان در یک نقطهٔ ثابت بسازید.
  • پایداری و نوعِ هر تعادل را با خطی‌سازی تعیین کنید.
  • یک جعبه‌ابزارِ بازکاربردپذیر برای یافتن و رده‌بندیِ تعادل‌ها بنویسید.
  • بفهمید چگونه انشعاب‌های زین–گره و هاپف در دستگاه‌ها رخ می‌دهند.

ماتریسِ ژاکوبی

نزدیکِ یک نقطهٔ ثابتِ \(\mathbf u^* = (x^*, y^*)\)، می‌توان جریانِ غیرخطی را با بسطِ تیلورِ مرتبهٔ اول تقریب زد. ماتریسی که این خطی‌سازیِ محلی را در خود دارد، ماتریسِ ژاکوبی (Jacobian) است — تعمیمِ چندبُعدیِ مشتقِ \(f'(x^*)\). برای یک دستگاهِ دوبُعدی، درایه‌هایش مشتق‌های جزئیِ جریان‌اند که در نقطهٔ ثابت ارزیابی شده‌اند:

\[ J \big|_{(x^*,y^*)}= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x} & \dfrac{\partial f}{\partial y}\\[2ex] \dfrac{\partial g}{\partial x} & \dfrac{\partial g}{\partial y} \end{bmatrix} . \]

قضیهٔ کلیدی می‌گوید که تصویرِ محلی، درست مانندِ حالتِ خطی، با مقادیرِ ویژهٔ ژاکوبین تعیین می‌شود:

قضیهٔ خطی‌سازی

نزدیکِ یک نقطهٔ ثابتِ \(\mathbf u^*\)، جواب‌های دستگاهِ غیرخطیِ \(\dot{\mathbf u}=\mathbf F(\mathbf u)\) مانندِ جواب‌های دستگاهِ خطیِ \(\dot{\mathbf u}=J\mathbf u\) نزدیکِ مبدأ رفتار می‌کنند. به‌ویژه: اگر همهٔ مقادیرِ ویژهٔ \(J\) بخشِ حقیقیِ منفی داشته باشند، \(\mathbf u^*\) پایدار است؛ اگر هر یک بخشِ حقیقیِ مثبت داشته باشد، ناپایدار است. مقادیرِ ویژهٔ مختلط یعنی نزدیک‌شدن (یا گریز) به‌صورتِ مارپیچ است.

پس کلِ روالِ تحلیلِ یک مدلِ غیرخطی چنین است:

  1. نقاطِ ثابت را با حلِ \(\mathbf F(\mathbf u^*)=\mathbf 0\) بیابید (اغلب جایی که نولکلین‌ها هم را قطع می‌کنند).
  2. ژاکوبینِ \(J\) را محاسبه و در هر نقطهٔ ثابت ارزیابی کنید.
  3. نوع و پایداری را از \(\operatorname{Tr}(J)\)، \(\det(J)\) و \(T^2-4D\) بخوانید (همان جدولِ فصلِ سیستم‌های خطی).

یک جعبه‌ابزارِ بازکاربردپذیرِ تحلیل

توابعِ خوداتکای زیر، گام‌های ۱ تا ۳ را یک‌بار برای همیشه پیاده می‌کنند. هر مدلِ غیرخطیِ این کتاب — از کلیدِ ژنتیکی تا فیتزهیو–ناگومو — از همین‌ها استفاده می‌کند و تنها جریان و ژاکوبینِ ویژهٔ مدل را عوض می‌کند.

import numpy as np
import scipy.integrate
import scipy.optimize

def integrate(flow, y0, t):
    """Numerically integrate dy/dt = flow(y, t) from y0 over time array t."""
    return scipy.integrate.odeint(flow, y0, t)

def find_equilibrium(flow, guess):
    """Solve flow(y) = 0 starting from `guess`; return the root or NaNs."""
    sol, info, ok, msg = scipy.optimize.fsolve(flow, guess, full_output=1)
    return sol if ok == 1 else np.full_like(np.asarray(guess, float), np.nan)

def unique_equilibria(flow, guesses, tol=1e-4):
    """Collect distinct equilibria found from a list of starting guesses."""
    eqs = []
    for g in guesses:
        r = find_equilibrium(flow, g)
        if not np.any(np.isnan(r)) and not any(np.allclose(r, e, atol=tol) for e in eqs):
            eqs.append(r)
    return eqs

def classify(J):
    """Return (name, is_stable) for a 2x2 Jacobian via trace & determinant."""
    T, D = np.trace(J), np.linalg.det(J)
    if D < 0:
        return "saddle", False
    stable = T < 0
    shape = "spiral" if T**2 - 4 * D < 0 else "node"
    return f"{'stable' if stable else 'unstable'} {shape}", stable

راهی طبیعی برای یافتنِ تعادل‌های یک مدلِ ناآشنا این است که از شرایطِ اولیهٔ متعدد انتگرال بگیریم، بگذاریم مسیرها بنشینند، و از نقطهٔ پایانیِ آن‌ها به‌عنوانِ حدسِ آغازین برای fsolve استفاده کنیم. (تعادل‌های پایدار به این روش خودکار یافت می‌شوند؛ تعادل‌های ناپایدار به حدس‌هایی نزدیکِ خودشان نیاز دارند، مثلاً روی یک نولکلین.)

ژاکوبین را با دست نگیرید — sympy بگیرد

گرفتنِ مشتق‌های جزئیِ یک جریانِ پیچیده با دست خطاخیز است. کتابخانهٔ sympy (پایتونِ نمادین) می‌تواند ژاکوبین را دقیق محاسبه و سپس به یک تابعِ عددیِ سریع تبدیل کند:

import sympy
x, y = sympy.symbols("x y")
F = sympy.Matrix([f_expr, g_expr])           # your symbolic flow
J = F.jacobian(sympy.Matrix([x, y]))
jac_numeric = sympy.lambdify((x, y), J, dummify=False)

یک مثالِ غیرخطیِ کامل: رقابتِ دو گونه

برای دیدنِ روال در عمل، مدلِ کلاسیکِ رقابتِ لوتکا–ولترا را در نظر بگیرید که جمعیتِ دو گونه ( \(x\) و \(z\) ) را که بر سرِ یک منبع رقابت می‌کنند، توصیف می‌کند:

\[ \dot x = x\,(3 - x - 2z), \qquad \dot z = z\,(2 - x - z). \]

نولکلین‌ها (nullclines) از صفر قراردادنِ هر مؤلفه به‌دست می‌آیند: محورها ( \(x=0\) و \(z=0\) ) به‌علاوهٔ دو خطِ \(x+2z=3\) و \(x+z=2\). تقاطع‌های آن‌ها چهار نقطهٔ ثابت می‌دهند. ژاکوبین چنین است:

\[ J = \begin{bmatrix} 3 - 2x - 2z & -2x \\ -z & 2 - x - 2z \end{bmatrix}. \]

با ارزیابیِ ژاکوبین و کاربردِ تابعِ classify، رده‌بندیِ زیر به‌دست می‌آید:

  • \((0,0)\): گرهِ ناپایدار — هر دو گونه از صفر رشد می‌کنند.
  • \((3,0)\): گرهِ پایدار — تنها گونهٔ \(x\) باقی می‌ماند.
  • \((0,2)\): گرهِ پایدار — تنها گونهٔ \(z\) باقی می‌ماند.
  • \((1,1)\): زین — هم‌زیستیِ ناپایدار.

Image title

صفحهٔ فازِ مدلِ رقابتِ دو گونه. منحنی‌های فیروزه‌ای و نارنجی نولکلین‌ها و خطوطِ خاکستری جریان‌اند. دو گرهِ پایدار (آبی) در \((3,0)\) و \((0,2)\) دو سرنوشتِ ممکن‌اند — یعنی یکی از دو گونه برنده می‌شود — و زینِ میانی (بنفش) در \((1,1)\) مرزِ میانِ دو حوضهٔ جذب را مشخص می‌کند. این یک نمونهٔ زیستیِ دوپایداری است: سرنوشتِ نهایی به شرطِ اولیه بستگی دارد.

from functools import partial
import numpy as np

def comp(y, t):
    x, z = y
    return np.array([x * (3 - x - 2*z), z * (2 - x - z)])

def comp_jacobian(x, z):
    return np.array([[3 - 2*x - 2*z, -2*x],
                     [-z,            2 - x - 2*z]])

for eq in [(0, 0), (3, 0), (0, 2), (1, 1)]:
    name, _ = classify(comp_jacobian(*eq))
    print(f"{name:14s} at {eq}")

این الگو — یافتنِ تعادل‌ها، خطی‌سازی، و رده‌بندی — همان روالی است که در دو فصلِ پایانیِ این بخش، روی مدل‌های واقعیِ عصبی به کار خواهیم برد.

انشعاب در دستگاه‌ها

دستگاه‌ها دو نوعِ مهمِ انشعاب دارند.

انشعابِ زین–گره را از یک بُعد به ارث می‌برند: با تغییرِ یک پارامتر، دو تعادل می‌توانند برخورد و ناپدید شوند. روی صفحهٔ اثر–دترمینان این همان لحظه‌ای است که \(\det(J)\) از صفر می‌گذرد ( \(D=0\) ) و یک گرهِ پایدار را به زین بدل می‌کند. این مکانیزم، زیربنای دوپایداری و حافظه است که در فصلِ دوپایداری به‌تفصیل می‌آید.

انشعابِ هاپف کاری می‌کند که در یک بُعد ناممکن است. هنگامی که یک مارپیچ پایداری‌اش را عوض می‌کند — یعنی \(\operatorname{Tr}(J)\) با \(\det(J)>0\) از صفر می‌گذرد، پس زوجی از مقادیرِ ویژهٔ مختلط از محورِ موهومی عبور می‌کنند — یک انشعابِ هاپف (Hopf bifurcation) داریم. وقتی یک مارپیچِ پایدار پایداری‌اش را از دست می‌دهد، معمولاً یک چرخهٔ حدی زاده می‌شود: یک نوسانِ خودپایدار. این انشعاب، قلبِ هر شلیکِ ریتمیک است و موضوعِ کاملِ فصلِ بعد، نوسانگرها، خواهد بود.

تمرین‌ها

  1. برای دستگاهِ غیرخطیِ \(\dot x = -(1-y^2)x - y,\; \dot y = x\)، نقطهٔ ثابتِ یکتا را بیابید، ژاکوبین را آنجا محاسبه و آن را رده‌بندی کنید (گره، زین یا مارپیچ). با شبیه‌سازی تأیید کنید.

  2. مدلِ رقابت را با ضرایبِ متفاوت بازنویسی کنید تا نقطهٔ هم‌زیستیِ \((1,1)\) به یک گرهِ پایدار بدل شود (هم‌زیستیِ پایدار). کدامین تغییر در ضرایبِ نولکلین‌ها این را ممکن می‌کند؟

  3. تابعِ classify را گسترش دهید تا حالت‌های مرزی ( \(\det J \approx 0\) یا \(\operatorname{Tr} J \approx 0\) ) را نیز برچسب بزند، چون این‌ها دقیقاً جایی‌اند که انشعاب‌ها رخ می‌دهند.

پیشنهاد در گیت‌هاب گزارش اشکال در گیت‌هاب ارسال بازخورد با ایمیل