رده‌بندی مدل‌ها

در فصل پیش دیدیم که مدل، انتزاعی هدفمند از واقعیت است. اما مدل‌ها انواعِ گوناگونی دارند و انتخابِ نوعِ درست، نخستین تصمیمِ مهمِ هر مدل‌سازی است. این فصل، مدل‌ها را بر پایهٔ سرشتشان رده‌بندی می‌کند و اصلِ راهنمای انتخاب، یعنی تناسب با هدف، را معرفی می‌کند.

تناسب با هدف: فرض‌های مدل‌سازی

هر مدلی بر مجموعه‌ای از فرض‌ها استوار است. اصلِ بنیادی این است که هدفِ متفاوت، مدلِ متفاوت می‌طلبد. یک مدل باید چنان طراحی شود که اطلاعاتِ مرتبط با پرسشِ ما را بازگرداند، نه بیشتر و نه کمتر.

برای روشن‌شدن، نوسانگرِ هماهنگ را در نظر بگیرید، یعنی وزنه‌ای به جرمِ \(m\) روی فنری با ثابتِ \(k\). ساده‌ترین مدل، نوسانگرِ هماهنگِ ایده‌آل است:

\[ m\ddot{x} = -k x \quad\Longrightarrow\quad x(t) = A\cos(\omega t + \varphi), \quad \omega = \sqrt{k/m}. \]

این مدل می‌گوید وزنه برای همیشه با دامنهٔ ثابت نوسان می‌کند. آیا این درست است؟ برای پاسخ به پرسشِ «بسامدِ نوسان چقدر است؟» بله، کاملاً کافی است. اما برای پرسشِ «نوسان پس از چند ثانیه چقدر میرا می‌شود؟» خیر، چون این مدل اصلاً میرایی ندارد. برای آن پرسش باید یک جملهٔ میرایی بیفزاییم:

\[ m\ddot{x} = -k x - c\dot{x}. \]

همین مثال نشان می‌دهد که «درستیِ» یک مدل مطلق نیست و به پرسشی که می‌پرسیم بستگی دارد.

سه‌گانهٔ دقت، سادگی و هزینه

در طراحی مدل، سه خواسته با هم رقابت می‌کنند و معمولاً تنها به دوتای آن‌ها هم‌زمان می‌توان رسید:

دقت: مدل چقدر به واقعیت نزدیک است.
سادگی: مدل چقدر برای فهم و حل آسان است.
هزینه: محاسبهٔ مدل چقدر ارزان است.

مدلِ نوسانگرِ ایده‌آل ساده و ارزان است اما در توصیفِ میرایی نادقیق؛ یک شبیه‌سازیِ کاملِ دینامیکِ مولکولیِ همان فنر بسیار دقیق اما گران و پیچیده است. هنرِ مدل‌سازی، یافتنِ توازنِ درست میانِ این سه برای پرسشِ خاصِ ماست.

چهار ردهٔ مدل

مدل‌ها را می‌توان بر پایهٔ سرشتشان به چهار رده تقسیم کرد.

مدل‌های مفهومی. بازنمایی‌هایی در بالاترین سطحِ انتزاع، یعنی تصویرِ کلیِ این‌که سامانه چگونه کار می‌کند. این همواره نخستین گام است: پیش از نوشتنِ هر معادله، باید تصویری مفهومی از سامانه داشته باشیم، مثلاً «وزنه‌ای که نیرویی بازگرداننده آن را به تعادل می‌کشد».

مدل‌های مکانیستی. این مدل‌ها از قوانینِ بنیادیِ فیزیک برای توصیفِ رفتار بهره می‌برند. ایدهٔ آن‌ها این است که یک سامانهٔ پیچیده، برهم‌نهیِ پدیده‌های پایه است. نمونه‌ها: قوانینِ نیوتن برای حرکتِ اجسام، نظریهٔ کشسانی برای پیش‌بینیِ تنش‌ها، و خودِ معادلهٔ نوسانگرِ هماهنگ که مستقیماً از قانونِ دومِ نیوتن و قانونِ هوک می‌آید.

مدل‌های پدیدارشناختی. این مدل‌ها بر سازگاریِ ریاضی میانِ کمیت‌ها بر پایهٔ مشاهده استوارند. شما آزمایش می‌کنید، اندازه می‌گیرید، و ساختاری ریاضی را به داده‌ها برازش می‌دهید، اما این ساختار باید با اصولِ فیزیک سازگار بماند. نمونهٔ کلاسیک، نیروی پسار است:

\[ F_D = \tfrac{1}{2}\rho v^2 C_D A, \]

که در آن \(\rho\) چگالی سیال، \(v\) سرعت، \(A\) سطحِ مقطع و \(C_D\) ضریبِ پسارِ بی‌بعد است که از ترکیبِ فیزیکِ شناخته‌شده (مکانیکِ سیالات) و داده‌های تجربی (وابستگی به عددِ رینولدز) به‌دست می‌آید.

مدل‌های داده‌محور. این مدل‌ها تنها از داده استفاده می‌کنند تا رابطه‌ای تجربی میانِ ورودی و خروجی بسازند. مثلاً اگر بخواهیم میرایی یک سامانهٔ پیچیده را پیش‌بینی کنیم، می‌توانیم آزمایش‌های فراوان انجام دهیم و یک رگرسیون میانِ شرایط و میزانِ میرایی برازش دهیم، بی‌آن‌که از سازوکارِ زیربنایی چیزی بدانیم. این مدل‌ها وقتی سودمندند که سامانه بسیار پیچیده باشد اما داده فراوان در دست باشد.

در سال‌های اخیر، این رده با ظهورِ یادگیری ماشین و به‌ویژه یادگیری ژرف (deep learning) به کانونِ توجه تبدیل شده است. به‌جای یک رگرسیونِ ساده، اکنون می‌توان شبکه‌های عصبیِ بزرگ را بر حجمِ عظیمی از داده آموزش داد تا روابطی بسیار پیچیده و غیرخطی را بیاموزند که نوشتنِ صریحِ آن‌ها با معادله ناممکن است. نمونهٔ پرآوازهٔ آن، پیش‌بینیِ ساختارِ سه‌بعدیِ پروتئین‌ها به کمکِ هوشِ مصنوعی است؛ مسئله‌ای که دهه‌ها برای روش‌های مکانیستی دشوار بود، اما یک مدلِ داده‌محور توانست آن را با دقتِ چشمگیری حل کند. نمونهٔ دیگر، مدل‌های پیش‌بینیِ آب‌وهوا و اقلیم‌اند که به‌جای حلِ کاملِ معادله‌های فیزیکیِ جو، الگوها را مستقیماً از داده‌های تاریخی می‌آموزند و اغلب سریع‌تر و در مواردی دقیق‌تر عمل می‌کنند.

با این همه، باید به یاد داشت که قدرتِ این مدل‌ها بهایی دارد. آن‌ها معمولاً تفسیرپذیریِ کمی دارند؛ یعنی به‌خوبی پیش‌بینی می‌کنند اما به‌سختی می‌گویند «چرا». یک مدلِ مکانیستی به ما می‌گوید کدام قانونِ فیزیکی رفتار را می‌راند، حال‌آن‌که یک شبکهٔ عصبیِ ژرف اغلب یک «جعبهٔ سیاه» است. به‌همین دلیل، مرزِ پژوهشیِ امروز اغلب در ترکیبِ این دو رویکرد است: مدل‌هایی که دانشِ فیزیکی را با انعطافِ یادگیری ماشین درمی‌آمیزند.

جمع‌بندی

انتخابِ نوعِ مدل، چه مفهومی، چه مکانیستی، چه پدیدارشناختی و چه داده‌محور، به پرسشِ ما، به دانشِ پیشینی‌مان از فیزیکِ سامانه، و به مقدارِ داده‌ای که در اختیار داریم بستگی دارد. در سراسرِ این کتاب بیشتر با مدل‌های مکانیستی سر و کار داریم، یعنی معادله‌های برخاسته از قوانینِ فیزیک، اما در فصل‌های برآورد و یادگیری ماشین، رویکردهای داده‌محور نیز به میدان می‌آیند.

پیشنهاد در گیت‌هاب گزارش اشکال در گیت‌هاب ارسال بازخورد با ایمیل