مفاهیم مدلسازی
هر کارِ علمی و مهندسی با یک مدل آغاز میشود. وقتی میخواهیم بفهمیم یک وزنه روی فنر چگونه نوسان میکند، یا یک پرتابه چه مسیری میپیماید، واقعیتِ کامل را با همهٔ جزئیاتِ بیشمارش کنار میگذاریم و بهجای آن نسخهای سادهشده و هدفمند میسازیم که تنها جنبههای موردِ علاقهٔ ما را بازتولید میکند. این فصل، مفاهیم پایهای را معرفی میکند که زیربنای هر تلاشِ مدلسازیاند.
مدل چیست؟
بهکوتاهی: یک مدل، نسخهای سادهشده و هدفمند از واقعیت است که فقط بخشهای مهمِ آن را نشان میدهد. به بیانِ فنیتر، یک مدل یک انتزاعِ هدفمند (به انگلیسی: abstraction) از واقعیتِ فیزیکی است. واژهٔ «انتزاع» در فارسی ممکن است سنگین بهنظر برسد، پس پیش از هر چیز معنای آن را روشن کنیم.
منظور از «انتزاع» چیست؟
هر چیزی در دنیای واقعی بینهایت جزئیات دارد. اگر بخواهیم همهچیز را همانگونه که هست توصیف کنیم، در انبوهی از اطلاعات غرق میشویم. انتزاع یعنی فیلترکردنِ هوشمندانهٔ جزئیات: جزئیاتی را که در حال حاضر به آنها نیازی نداریم کنار میگذاریم و تنها بر اصلِ مطلب تمرکز میکنیم. نکتهٔ مهم این است که این حذف تصادفی نیست، بلکه بر پایهٔ هدفِ ما انجام میشود.
بهترین مثال، نقشهٔ مترو است. نقشهٔ متروی یک شهر، یک مدلِ انتزاعی از واقعیتِ شهر است. در این نقشه، درختان، ساختمانها، ترافیک خیابانها و حتی خموپیچهای دقیقِ تونلها حذف شدهاند. چرا؟ چون مسافر تنها میخواهد بداند کدام ایستگاه به کدام ایستگاه وصل است. این یعنی حذفِ هدفمندِ جزئیات. توجه کنید که اگر یک مهندسِ عمران بخواهد همان تونل را بسازد، این نقشه برایش بیفایده است و به مدلی دیگر با جزئیاتی کاملاً متفاوت نیاز دارد. پس هدفِ متفاوت، انتزاعِ متفاوت میطلبد.
بنابراین هر جا در علم یا مهندسی واژهٔ «انتزاع» را شنیدید، بهجای یک مفهومِ پیچیده، یادِ فیلترکردنِ هوشمندانهٔ واقعیت برای رسیدن به یک هدفِ خاص بیفتید.
نویسندهٔ آرژانتینی، خورخه لوئیس بورخس، در داستانکی یکبندی به نامِ «دربابِ دقت در علم» همین نکته را بهزیبایی به تصویر کشیده است. ترجمهٔ آزادِ آن چنین است:
در بابِ دقت در علم، نوشتهٔ خورخه لوئیس بورخس
در آن امپراتوری، نقشهنگاری چنان پیشرفت کرده بود که نقشهٔ یک استان بهبزرگیِ یک شهر بود و نقشهٔ کلِ امپراتوری بهبزرگیِ یک استان. با گذشت زمان، این نقشههای بزرگ هم کافی به نظر نرسید، و نقشهنگاران نقشهای از امپراتوری کشیدند که درست بهاندازهٔ خودِ امپراتوری بود و نقطهبهنقطه بر آن منطبق میشد. نسلهای بعد، که دیگر مثل گذشتگان به نقشهنگاری علاقه نداشتند، دیدند که این نقشهٔ عظیم بیفایده است و آن را رها کردند تا زیرِ آفتاب و باران از بین برود. امروز هم در بیابانهای غربی، تکههای پارهپارهٔ آن نقشه باقی مانده که جانوران و آدمهای بیخانمان در آن زندگی میکنند؛ و در سراسرِ آن سرزمین، هیچ نشانِ دیگری از علمِ جغرافیا باقی نمانده است.
نکتهٔ بورخس همان نکتهٔ ماست: نقشهای که بهاندازهٔ خودِ سرزمین و نقطهبهنقطه دقیق باشد، هیچ جزئیاتی را فیلتر نکرده، و درست به همین دلیل کاملاً بیفایده است. ارزشِ یک نقشه، یا یک مدل، در همان چیزی است که حذف میکند، نه در آنچه نگه میدارد.
با این مقدمه، میتوانیم به تعریفِ دقیق بازگردیم. ما همواره با یک سامانه سر و کار داریم؛ برای نمونه یک وزنهٔ روی فنر، یک سیّاره بهدورِ خورشید، یا یک مدارِ الکتریکی. دربارهٔ رفتارِ این سامانه پرسش داریم و برای پاسخ، مدلی میسازیم که تنها آن جنبههایی از سامانه را که برایمان مهماند تقلید کند، و باقی را مانندِ نقشهٔ مترو فیلتر میکنیم.
نکتهٔ کلیدی این است که ما تنها بخشی از سامانه را مدل میکنیم. اگر مسیرِ یک پرتابه را مدل میکنیم، شاید مقاومتِ هوا، چرخشِ توپ یا تغییراتِ محلیِ شتابِ گرانش را نادیده بگیریم. اگر این عوامل بر پاسخِ ما بهطورِ معنادار اثر نگذارند، مدلِ ما بهقدرِ کافی خوب است.
همین نکته را آماردانِ بزرگ، جورج باکس، در یک جملهٔ ماندگار خلاصه کرده است: «همهٔ مدلها نادرستاند، اما برخی سودمندند.» هیچ مدلی واقعیت را بهتمامی توصیف نمیکند؛ ارزشِ یک مدل نه در کاملبودنِ آن، بلکه در سودمندیاش برای پاسخ به پرسشی مشخص است.
چرخهٔ مدلسازی چند گام دارد. نخست انتزاع از سامانهٔ واقعی، سپس ریاضیسازی یعنی نوشتنِ معادلهها، آنگاه محاسبه که اغلب بهصورتِ عددی است، و سرانجام تفسیر نتایج برای پاسخ به پرسشِ اصلی. در کنارِ اینها باید راستیآزمایی کنیم که آیا مدل بهواقع سامانه را بهدرستی توصیف میکند یا نه.
برای نمونه، مسیرِ یک پرتابه را در نظر بگیرید که با سرعتِ اولیهٔ \(v_0\) و زاویهٔ \(\theta\) پرتاب میشود. سادهترین مدل، معادلههای حرکت بدونِ مقاومتِ هواست:
این مدلِ بسیار سادهای است. اینکه برای پاسخ به پرسشِ ما کافی باشد یا نه، به خودِ پرسش بستگی دارد.
چهار پرسش بنیادی
این فصل و فصلهای بعدِ این بخش، حولِ چهار پرسش سازمان مییابند که در هر شاخه از علم و مهندسی به کار میآیند:
- مدل چیست و چه انواعی دارد؟ یعنی چگونه یک سامانه را ساده کنیم (انتزاع) و در یک دسته جای دهیم (فصل بعد: ردهبندی مدلها).
- چگونه مدلِ مناسب را انتخاب کنیم؟ یعنی چگونه فرضها را انتخاب کنیم و میان دقت و سادگی توازن برقرار کنیم (تصمیمهای مدلسازی).
- از کجا بدانیم مدل دقیق است؟ یعنی راستیآزمایی، واسنجی و اعتبارسنجی.
- چگونه کارایی مدل را بسنجیم؟ یعنی نیکویی برازش.
در ادامه، هر یک از این پرسشها را در فصلی جداگانه میکاویم. این مفاهیم، هرچند ساده بهنظر میرسند، شالودهٔ تفکرِ درست دربارهٔ هر مدلی هستند، از یک وزنهٔ روی فنر تا شبیهسازیِ کاملِ یک سامانهٔ فیزیکی.