کاربرد ۲ — تحریکپذیری: نورونِ فیتزهیو–ناگومو
در فصلِ پیش دیدیم چگونه دو حالتِ پایدار، حافظه میسازند. اکنون به پدیدهٔ بنیادینِ دیگرِ علوم اعصاب میپردازیم: اسپایک. چگونه یک نورون آرام استراحت میکند، اما با یک محرکِ کافی یک پتانسیلِ عمل بزرگ شلیک میکند و سپس به استراحت بازمیگردد؟ این رفتار را تحریکپذیری (excitability) مینامند، و سادهترین مدلی که آن را بازتولید میکند، نورونِ فیتزهیو–ناگومو است.
این فصل، مانندِ فصلِ پیش، یک درسنامهٔ گامبهگام است که از صفر تا پژوهشِ واقعی پیش میرود. مدل و کدها از نوتبوکِ excitable_systems.ipynb میآیند.
تحریکپذیری یعنی چه؟
سه واقعیتِ تجربی، رفتارِ یک نورونِ تحریکپذیر را تعریف میکنند:
- استراحت: بدونِ ورودی، سلول در یک ولتاژِ پایای آرام مینشیند.
- آستانه: یک محرکِ کوچک میرا میشود و سلول به استراحت بازمیگردد؛ اما محرکی فراتر از یک آستانه، یک گردشِ بزرگ — یک اسپایک — را پیش از بازگشت رها میکند.
- شلیکِ تکراری: اگر ورودی بهاندازهٔ کافی بزرگ و پایا باشد، سلول بهصورتِ ریتمیک و پیوسته اسپایک میزند.
نکتهٔ کلیدی این است که سلول به محرکها «همه یا هیچ» پاسخ میدهد: کیکهای کوچک را نادیده میگیرد و بزرگها را به یک اسپایکِ کامل تقویت میکند.
از هاجکین–هاکسلی تا فیتزهیو–ناگومو
مدلِ کاملِ هاجکین–هاکسلی پتانسیلِ عمل را با چهار متغیر توصیف میکند (ولتاژ بهعلاوهٔ سه دروازهٔ یونی). این مدل دقیق است اما تحلیلِ هندسیِ آن دشوار. فیتزهیو دریافت که میتوان آن را به یک کاریکاتورِ دومتغیره فروکاست که جوهرِ رفتار را نگه میدارد:
- یک متغیرِ سریعِ فعالساز \(v\) (شبیهٔ ولتاژ غشا) که بازخوردِ مثبت دارد و بالاروِ تندِ اسپایک را میسازد.
- یک متغیرِ کندِ بازیابی \(w\) که با تأخیر سلول را به استراحت بازمیکشد (نقشِ غیرفعالشدنِ سدیم و فعالشدنِ پتاسیم را یکجا بازی میکند).
این جداییِ مقیاسِ زمانیِ سریع–کند، همان سازوکارِ نوسانِ واهلشیِ فاندرپل (فصلِ نوسانگرها) است. کاهش به دو بُعد یک پاداشِ بزرگ دارد: میتوانیم کلِ رفتار را در صفحهٔ فاز ببینیم.
۱. مدل
- \(v\): پتانسیلِ غشای (بیبُعد). جملهٔ \(v - v^3\) همان بازخوردِ مثبتِ غیرخطی است که اسپایک را میزند.
- \(w\): متغیرِ بازیابیِ کند.
- \(\tau\): ثابتِ زمانیِ بزرگِ بازیابی (اینجا \(\tau=20\))؛ بزرگبودنِ آن، «کند»بودنِ \(w\) را تضمین میکند.
- \(I_\text{ext}\): جریانِ تزریقی.
- \(a, b\): پارامترهای شکلِ نولکلینِ بازیابی (اینجا \(a=-0.3\)، \(b=1.0\)).
(فیتزهیو–ناگومو چند صورتِ همارز دارد؛ نسخهای که فصلِ حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی به کار برد، بهنجارشِ اندکی متفاوتی دارد اما رفتارِ کیفیِ یکسانی.)
from functools import partial
import numpy as np
import scipy.integrate
import matplotlib.pyplot as plt
def fitzhugh_nagumo(x, t, a, b, tau, I):
"""FitzHugh-Nagumo flow. x = (v, w): voltage and recovery."""
v, w = x
return np.array([v - v**3 - w + I,
(v - a - b * w) / tau])
۲. مسیرها: آستانه را ببینیم
نخست دستگاه را از چند جابهجاییِ کوچک و بزرگ از استراحت میرانیم ( \(I=0\) ) و تماشا میکنیم. این، نشانهٔ شاخصِ تحریکپذیری — وجودِ یک آستانه — را آشکار میکند.
base = {"a": -0.3, "b": 1.0, "tau": 20, "I": 0.0}
time = np.linspace(0, 200, 2000)
for v0 in [-1.0, -0.9, -0.6, -0.2]: # increasingly strong kicks from rest
traj = scipy.integrate.odeint(partial(fitzhugh_nagumo, **base),
y0=(v0, -0.4), t=time)
plt.plot(time, traj[:, 0], label=f"v0 = {v0}")
plt.xlabel("time"); plt.ylabel("v"); plt.legend(); plt.show()
جابهجاییهای کوچک بهنرمی به استراحت بازمیگردند، اما همینکه از یک آستانه بگذریم، مسیر یک حلقهٔ بزرگ — یک اسپایکِ کامل — میزند و سپس بازمیگردد. پاسخ «همه یا هیچ» است.
۳. نولکلینها (nullclines)
با صفر قراردادنِ هر مشتق:
[ \frac{dv}{dt}=0 \;\Leftrightarrow\; w = v - v^3 + I_\text{ext}\quad\text{(N-shaped cubic nullcline)}, ] [ \frac{dw}{dt}=0 \;\Leftrightarrow\; w = \frac{v - a}{b}\quad\text{(straight line)} . ]
تعادلها تقاطعِ این دو هستند. شکلِ N-مانندِ نولکلینِ \(v\) قلبِ تحریکپذیری است: شاخهٔ میانیِ آن (با شیبِ مثبت) ناپایدار است و نقشِ «آستانه» را بازی میکند.
def plot_nullclines(ax, a, b, tau, I, vs=np.linspace(-2.2, 2.2, 400)):
ax.plot(vs, vs - vs**3 + I, label=r"$\dot v=0$") # cubic
ax.plot(vs, (vs - a) / b, label=r"$\dot w=0$") # line
ax.set(xlabel="v", ylabel="w")
۴. یافتنِ تعادلها — با ریشههای چندجملهای
برای فیتزهیو–ناگومو، یافتنِ تعادلها از مدلِ پیش هم تمیزتر است: با جایگذاریِ خطِ بازیابی در منحنیِ سهگانه، به یک معادلهٔ درجهٔ سومِ دقیق در \(v\) میرسیم که numpy.roots آن را کامل حل میکند (هیچ حدسِ آغازینی لازم نیست):
def fhn_equilibria(a, b, tau, I):
"""All real equilibria of FHN, found exactly via the cubic's roots."""
coeffs = [1, 0, 1/b - 1, -(a/b + I)] # v^3 + (1/b - 1) v - (a/b + I)
return [(r.real, r.real - r.real**3 + I)
for r in np.roots(coeffs) if abs(r.imag) < 1e-9]
بسته به پارامترها، این میتواند یک یا سه ریشهٔ حقیقی بدهد — یعنی یک یا سه تعادل.
۵. سرشتِ تعادلها: ژاکوبین
ژاکوبین را با دست میگیریم:
و با یک تابعِ stability (نسخهٔ فشردهترِ همان تابعِ فصلِ دوپایداری) ردهبندی میکنیم.
def fhn_jacobian(v, w, a, b, tau, I):
return np.array([[1 - 3*v**2, -1.0],
[1/tau, -b/tau]])
def stability(J):
"""Classify a 2x2 Jacobian via trace and determinant."""
det, trace = np.linalg.det(J), np.trace(J)
if det < 0:
return "Saddle"
nature = "Stable" if trace < 0 else "Unstable"
nature += " focus" if (trace**2 - 4*det) < 0 else " node"
return nature
for v, w in fhn_equilibria(**base):
print(f"{stability(fhn_jacobian(v, w, **base)):14s} at v* = {v:+.3f}")
همان الگو با sympy
اگر ترجیح میدهید مشتقها را با دست نگیرید، sympy (مانندِ فصلِ پیش) ژاکوبین را خودکار میسازد. الگوی کار دقیقاً یکسان است: یک ماتریسِ نمادینِ جریان تعریف کنید، .jacobian بگیرید، و با lambdify به تابعِ عددی بدل کنید.
۶. نمودارِ کاملِ فاز: استراحت در برابرِ شلیک
اکنون همهچیز را در صفحهٔ فاز گرد میآوریم، برای دو رژیمِ کلیدی.
صفحهٔ فازِ فیتزهیو–ناگومو ( \(a=-0.3,\,b=1.0,\,\tau=20\) ). منحنیِ سهگانهٔ فیروزهای نولکلینِ \(\dot v=0\) و خطِ نارنجی نولکلینِ \(\dot w=0\) است؛ تقاطعشان نقطهٔ ثابت است. چپ ( \(I=0\) ): یک نقطهٔ ثابتِ پایدارِ واحد (آبی) — حالتِ استراحت؛ مسیرهای کیکهای کوچک (خاکستری) بازمیگردند، اما کیکی فراتر از شاخهٔ میانیِ منحنی یک حلقهٔ بلند (اسپایک) میزند. راست ( \(I=0.4\) ): نقطهٔ ثابت اکنون ناپایدار (قرمز) است و یک چرخهٔ حدیِ پایدار (حلقهٔ قرمز) آن را در بر گرفته — نورون بهصورتِ دورهای اسپایک میزند.
همین دو رژیم را بهصورتِ ردِ ولتاژ نیز میتوان دید:
پتانسیلِ غشای \(v(t)\) برای همان دو حالت. چپ ( \(I=0\) ): کیکهای کوچک میرا میشوند؛ یک کیکِ بزرگتر یک اسپایک تولید میکند و سپس خاموشی (تحریکپذیر اما بدونِ نوسانِ پایا). راست ( \(I=0.4\) ): شلیکِ پایدار و دورهای — چهرهٔ زمانیِ چرخهٔ حدی.
بهیاد بیاورید (فصلِ نوسانگرها) که گذار از «نقطهٔ ثابتِ پایدار» به «چرخهٔ حدی» نشانهٔ یک انشعابِ هاپف است. بیایید این را دقیقتر بررسی کنیم.
۷. نمودارِ انشعاب در \(I\): دو هاپف و انسدادِ تحریک
اکنون پرسشِ پژوهشی: با افزایشِ تدریجیِ جریانِ \(I_\text{ext}\)، رفتارِ نورون چگونه تغییر میکند؟ جریان را جارو میکنیم و تعادل را در هر مقدار ردهبندی میکنیم.
I_values = np.linspace(-0.2, 1.0, 500)
for I in I_values:
p = {"a": -0.3, "b": 1.0, "tau": 20, "I": I}
for v, w in fhn_equilibria(**p):
nature = stability(fhn_jacobian(v, w, **p))
color = "C0" if nature.startswith("Stable") else "C3"
plt.plot(I, v, ".", color=color, ms=4)
plt.xlabel(r"$I_{\rm ext}$"); plt.ylabel(r"$v^*$"); plt.show()
نمودارِ انشعابِ فیتزهیو–ناگومو: پتانسیلِ پایای \(v^*\) بر حسبِ جریانِ تزریقیِ \(I_\text{ext}\) ( \(b=1.0\) ). آبی نقطهٔ ثابتِ پایدار و قرمز نقطهٔ ناپایدار است. نقطهٔ ثابت در جریانهای کم و زیاد پایدار و در نوارِ سایهخوردهٔ میانی ناپایدار است، که با دو انشعابِ هاپف کراندار شده. درونِ این نوار، حالتِ استراحتِ پایدار جای خود را به یک چرخهٔ حدی میدهد — این همان گسترهٔ شلیکِ نورون است.
دو نکتهٔ مهم در این نمودار:
-
آغازِ شلیک (هاپفِ پایینی): با افزایشِ \(I\) از صفر، در یک مقدارِ بحرانی، \(\operatorname{Tr}(J)\) از صفر میگذرد، تعادل ناپایدار میشود، و چرخهٔ حدی زاده میشود. اینجا نورون «روشن» میشود.
-
انسدادِ تحریک (هاپفِ بالایی): در یک جریانِ بزرگترِ دوم، تعادل پایداریاش را بازمییابد و شلیک متوقف میشود. این پدیدهٔ شگفت — انسدادِ تحریک (excitation block، یا انسدادِ دپلاریزاسیون) — برخلافِ شهود است: جریانِ بیشازحد، نورون را خاموش میکند و در یک حالتِ پایای بالا و دپلاریزهشده میخکوب میکند. شلیک تنها در نوارِ میانِ دو هاپف زندگی میکند.
۸. دو ردهٔ تحریکپذیری: منحنیِ بسامد–جریان (f–I)، نوعِ ۱ و نوعِ ۲
در بخشِ پیش دیدیم که فیتزهیو–ناگومو با عبور از یک انشعابِ هاپف روشن میشود. اما این تنها راهِ روشنشدنِ یک نورون نیست. پرسشِ کلیدی این است: با افزایشِ تدریجیِ جریان، بسامدِ شلیک چگونه از صفر آغاز میشود؟ پاسخ، نورونها را به دو ردهٔ بنیادی تقسیم میکند که آلن هاجکین نخستینبار در ۱۹۴۸ بر پایهٔ آزمایش شناختشان، و هر رده با نوعِ متفاوتی از انشعاب همراه است.
منحنیِ بسامد–جریان (f–I)
منحنیِ بسامد–جریان (frequency–current curve، کوتاهشده f–I) نمودارِ بسامدِ شلیکِ پایای \(f\) بر حسبِ جریانِ ثابتِ تزریقیِ \(I\) است. ساختنش ساده است: به ازای هر \(I\)، مدل را بهقدرِ کافی طولانی میرانیم تا گذارها فروکش کند؛ سپس یا دستگاه به یک نقطهٔ ثابت مینشیند (\(f=0\)، بدونِ شلیک) یا روی یک چرخهٔ حدی میافتد که در آن صورت \(f\) را از دورهٔ آن (فاصلهٔ زمانیِ میانِ دو اسپایک) میخوانیم. آنچه بیش از همه اهمیت دارد، شکلِ این منحنی درست در آستانهٔ شلیک است.
نوعِ ۲: روشنشدنِ ناپیوسته از راهِ هاپف
فیتزهیو–ناگومو نمونهٔ ردهای است که هاجکین آن را ردهٔ ۲ (Class 2) نامید. چون شلیک از راهِ یک انشعابِ هاپف زاده میشود، چرخهٔ حدی از همان آغاز با یک بسامدِ ناصفر ظاهر میشود — به یاد آورید که بخشِ موهومیِ مقادیرِ ویژه در نقطهٔ هاپف، آهنگِ چرخش را تعیین میکند و در آستانه صفر نیست. پس همینکه \(I\) از مقدارِ بحرانی بگذرد، بسامد از صفر به یک مقدارِ متناهی میپرد: منحنیِ f–I در آستانه ناپیوسته است و نورون یک کمینهبسامدِ شلیکِ ناصفر دارد.
نوعِ ۱: روشنشدنِ پیوسته از راهِ SNIC
راهِ دوم ظریفتر و در قشرِ مغز رایجتر است. فرض کنید در صفحهٔ فاز یک دایرهٔ ناوردا (invariant circle) هست: حلقهای بسته که مسیرها نمیتوانند از آن بیرون بروند. زیرِ آستانه، دو نقطهٔ ثابت روی این دایره نشستهاند: یک گرهِ پایدار (استراحت) و یک زین (آستانه). با افزایشِ \(I\) این دو به هم نزدیک میشوند، برخورد میکنند و در یک انشعابِ زین–گره (فصلِ مرور مفاهیم پایه) یکدیگر را نابود میکنند — اما اینبار برخورد روی همان دایرهٔ ناوردا رخ میدهد. لحظهای که نقاطِ ثابت ناپدید میشوند، دایره چارهای جز تبدیلشدن به یک چرخهٔ حدی ندارد و شلیکِ دورهای آغاز میشود. این سازوکار را انشعابِ زین–گره روی دایرهٔ ناوردا (saddle-node on an invariant circle، کوتاهشده SNIC) مینامند.
سازوکارِ SNIC روی نورونِ تتا. دایرهٔ فیروزهای همان دایرهٔ ناوردا و پیکانهای خاکستری جریانِ روی آناند؛ نقطهٔ شلیک در \(\theta=\pi\) (سمتِ چپ) است. چپ ( \(I<I_c\) ): دو نقطهٔ ثابت روی دایرهاند — یک گرهِ پایدار (استراحت، آبی) و یک نقطهٔ ناپایدار که در یک مدلِ دوبُعدی یک زین است (آستانه، قرمز)؛ همهٔ مسیرها سرانجام به استراحت میرسند. راست ( \(I>I_c\) ): نقاطِ ثابت نابود شدهاند و دایره یک چرخهٔ حدیِ کامل است؛ جریان بیوقفه میچرخد و نورون بهصورتِ دورهای شلیک میکند.
نکتهٔ سرنوشتساز در بسامدِ شلیکِ تازهزاده است. درست پس از آنکه زین و گره ناپدید میشوند، یک شبح (ghost) از آنها بر جای میماند: ناحیهای که جریان در آن بسیار کند است، چون تازه از صفر فاصله گرفته. مسیر، بیشترِ دورهٔ خود را صرفِ خزیدن از میانِ این گلوگاهِ کند میکند. میتوان نشان داد (تمرینِ ۲) که زمانِ عبور از شبحِ یک زین–گره مانندِ \(1/\sqrt{I-I_c}\) واگرا میشود؛ پس دوره به بینهایت میرود و بسامد بهصورتِ پیوسته از صفر آغاز میشود، با قانونِ مشخصِ
این همان ردهٔ ۱ (Class 1) هاجکین است: منحنیِ f–I پیوسته است و نورون میتواند با بسامدِ دلخواهکوچک شلیک کند.
دو ردهٔ تحریکپذیری از روی منحنیِ f–I. چپ (نوعِ ۱ / SNIC): بسامد بهصورتِ پیوسته و با شیبِ عمودیِ \(\sqrt{I-I_c}\) از صفر بالا میآید؛ هیچ کمینهبسامدی وجود ندارد. راست (نوعِ ۲ / هاپف، محاسبهشده برای فیتزهیو–ناگومو): بسامد در آستانه میپرد و نورون کمینهبسامدِ ناصفر دارد؛ در جریانِ زیاد نیز شلیک ناگهان قطع میشود (انسدادِ تحریکِ بخشِ ۷). توجه کنید که محورهای عمودی هممقیاس نیستند — آنچه اهمیت دارد شکلِ منحنی در آستانه است.
کمینهمدلِ ردهٔ ۱: نورونِ QIF و نورونِ تتا
همانطور که \(\dot x = x^2 + a\) کمینهمثالِ یک انشعابِ زین–گره بود، یک کمینهمدلِ نورونی هم برای ردهٔ ۱ هست: نورونِ درجهدومِ یکپارچهوشلیک (quadratic integrate-and-fire، QIF):
با این قاعده که هرگاه \(v\) به \(+\infty\) بگریزد، یک اسپایک ثبت و \(v\) به مقداری منفی و بزرگ بازنشانی میشود.
- برای \(I<0\): دو نقطهٔ ثابت در \(v^*=\pm\sqrt{-I}\) هست؛ \(-\sqrt{-I}\) پایدار (استراحت) و \(+\sqrt{-I}\) ناپایدار (آستانه) — همان دو نقطهٔ روی دایرهٔ ناوردا.
- برای \(I>0\): هیچ نقطهٔ ثابتی نمیماند؛ \(v\) در زمانِ متناهی میگریزد، بازنشانی میشود و باز میگریزد. با انتگرالگیری از \(dv/(v^2+I)\) دوره برابرِ \(T=\pi/\sqrt{I}\) و بنابراین \(f = \sqrt{I}/\pi\) — دقیقاً همان قانونِ پیوستهٔ \(\sqrt{I-I_c}\) با \(I_c=0\).
اگر همین معادله را با تغییرِ متغیرِ \(v=\tan(\theta/2)\) روی یک دایره بپیچیم، به نورونِ تتا (theta neuron) میرسیم — که همان دایرهٔ ناوردای شکلِ بالاست. QIF و نورونِ تتا دو نمایِ یک چیزند و صورتِ نرمالِ جهانیِ هر نورونِ ردهٔ ۱ بهشمار میآیند. (این مدلها را دوباره و با جزئیاتِ بیشتر در فصلِ مدلهای سادهشدهٔ نورون خواهیم دید.)
import numpy as np
def qif_rate(I, v_reset=-100.0, v_peak=100.0):
"""Firing rate of the quadratic integrate-and-fire neuron dv/dt = v^2 + I."""
if I <= 0:
return 0.0 # rest + threshold coexist: no firing
# period = integral of dv / (v^2 + I) from v_reset to v_peak
T = (np.arctan(v_peak / np.sqrt(I)) - np.arctan(v_reset / np.sqrt(I))) / np.sqrt(I)
return 1.0 / T
I_values = np.linspace(-0.5, 1.5, 400)
rates = [qif_rate(I) for I in I_values] # continuous rise from zero at I = 0
انتگرالگر در برابر تشدیدگر
این دو رده تنها تفاوتی صوری در منحنیِ f–I نیستند؛ دو سبکِ محاسباتیِ متفاوتاند.
- نورونهای ردهٔ ۱ (SNIC) مانندِ یک انتگرالگر (integrator) رفتار میکنند: نوسانِ زیرِآستانه ندارند، به ورودیهای همزمان پاسخِ انباشتی میدهند، و میتوانند با هر بسامدِ کوچکی شلیک کنند.
- نورونهای ردهٔ ۲ (هاپف) مانندِ یک تشدیدگر (resonator) رفتار میکنند: نوسانِ زیرِآستانه دارند، به ورودیهایی با بسامدِ نزدیک به بسامدِ ذاتیِ خود حساسترند، و کمینهبسامدِ ناصفر دارند.
این تمایز — که ایژیکویچ آن را بهتفصیل شکافته — تعیین میکند که یک نورون در یک شبکه چگونه اطلاعات را کدگذاری و با دیگران هماهنگ میکند. جدولِ زیر دو راه را کنارِ هم میگذارد:
| ویژگی | نوعِ ۱ (SNIC) | نوعِ ۲ (هاپف) |
|---|---|---|
| انشعابِ آغازِ شلیک | زین–گره روی دایرهٔ ناوردا | هاپف |
| منحنیِ f–I در آستانه | پیوسته، \(f\propto\sqrt{I-I_c}\) | ناپیوسته (میپرد) |
| کمینهبسامدِ شلیک | صفر (دلخواهکوچک) | ناصفر |
| نوسانِ زیرِآستانه | ندارد | دارد |
| سبکِ محاسباتی | انتگرالگر | تشدیدگر |
| ردهٔ هاجکین (۱۹۴۸) | ردهٔ ۱ | ردهٔ ۲ |
| کمینهمدل | QIF / نورونِ تتا | فیتزهیو–ناگومو |
| نمونهٔ زیستی | سلولِ هرمیِ قشر، هرمیهای CA1/CA3 | اینترنورونِ PV+ سریعشلیک، آکسونِ غولپیکرِ اسکویید |
کدام نورونِ واقعی از کدام رده است؟
تا اینجا دو رده را از روی مدل ساختهایم. اما این ردهبندی از آغاز یک یافتهٔ آزمایشگاهی بود، نه ریاضی: هاجکین در ۱۹۴۸، چهار سال پیش از مدلِ معروفش، آکسونِ خرچنگ را با جریانِ ثابت تحریک کرد و دید که آکسونها به چند گروهِ متمایز میافتند. او سه رده شمرد، نه دو: ردهٔ ۱ و ردهٔ ۲ که دیدیم، و ردهٔ ۳ که اصلاً شلیکِ دورهای نمیکند و به هر جریانِ ثابتی تنها با یک اسپایک پاسخ میدهد. ردهٔ ۳ در کتابها کمتر دیده میشود، اما در نورونهای شنواییِ ساقهٔ مغز — که کارشان تشخیصِ زمانبندی است، نه شمردنِ شدت — رفتاری رایج است.
پرسشِ طبیعیِ بعدی این است: نورونهای مغزِ ما از کدام ردهاند؟ پاسخ را میتوان مستقیماً اندازه گرفت، و اندازهگیری شده است. تاتنو، هارش و رابینسون (۲۰۰۴) با ثبتِ درونسلولی از قشرِ حسِ پیکریِ موش منحنیِ f–I را درست در آستانه، با گامهای بسیار ریزِ جریان، ساختند و دو رفتارِ کاملاً متمایز یافتند:
- سلولهای هرمیِ منظمشلیک (regular spiking، RS) — یعنی نورونهای تحریکیِ اصلیِ قشر — منحنیِ f–I پیوسته دارند و میتوانند بهصورتِ پایدار با چند هرتز شلیک کنند. اینها ردهٔ ۱اند. همین را در سلولهای هرمیِ CA1 و CA3ِ هیپوکامپ هم میبینیم.
- اینترنورونهای مهاریِ سریعشلیک (fast spiking، FS؛ عمدتاً سلولهای پاروآلبومینمثبت یا PV+) در آستانه یک ناپیوستگیِ آشکار نشان میدهند: زیرِ یک بسامدِ بحرانیِ حدودِ ۱۰ تا ۳۰ هرتز اصلاً نمیتوانند شلیکِ پایدار داشته باشند. اینها ردهٔ ۲اند.
پس هر دو رده در یک قطعهٔ کوچک از قشر، کنارِ هم و در تماسِ سیناپسی با هم، حضور دارند: پیکرهٔ تحریکیِ ردهٔ ۱ و شبکهٔ مهاریِ ردهٔ ۲.
چرا مدلِ هاجکین–هاکسلی ردهٔ ۲ است، اما سلولِ هرمی ردهٔ ۱؟
مدلِ ۱۹۵۲ بر دادهٔ آکسونِ غولپیکرِ اسکویید برازش شده است: ساختاری محیطی، بیمیلین، و تکاملیافته برای یک پاسخِ فرارِ سریع و همهیاهیچ. چنین ساختاری اصلاً قرار نیست با ۳ هرتز شلیک کند، و نمیکند. بنابراین «ردهٔ ۲ بودنِ HH» ویژگیِ آن آکسون است، نه ویژگیِ چارچوبِ رساناییمحور و نه ویژگیِ نورونها بهطورِ کلی. این نکته را جدی بگیرید: مدلِ HH استانداردْ مدلِ نورونِ قشری نیست.
آنچه رده را تعیین میکند، ترکیبِ جریانها در همسایگیِ آستانه است. ایژیکویچ این را به یک قاعدهٔ ساده فروکاسته که با زبانِ همین فصل بیان میشود. هر متغیرِ دروازهای در نزدیکیِ آستانه یکی از دو نقش را دارد:
- متغیرِ تقویتکننده (amplifying): بازخوردِ مثبت میدهد، یعنی دپلاریزاسیون آن را در جهتی میبرد که دپلاریزاسیونِ بیشتری بسازد. فعالسازیِ یک جریانِ ورودی (مانندِ سدیمِ پایدار \(I_{\mathrm{NaP}}\)) در این دسته است، و — نکتهٔ ظریف — غیرفعالسازیِ یک جریانِ خروجی هم همینطور، چون خاموششدنِ ترمز معادلِ فشردنِ گاز است.
- متغیرِ تشدیدی (resonant): بازخوردِ منفیِ کند میدهد. فعالسازیِ یک جریانِ خروجیِ کند (مانندِ جریانِ \(I_M\) یا \(I_h\)) و غیرفعالسازیِ یک جریانِ ورودی (دروازهٔ \(h\)ِ سدیم) در این دستهاند.
هرچه سهمِ متغیرهای تقویتکننده در آستانه بیشتر باشد، دستگاه به سمتِ برخوردِ زین و گره — یعنی SNIC و ردهٔ ۱ — میرود؛ هرچه سهمِ متغیرهای تشدیدی بیشتر باشد، به سمتِ ناپایداریِ نوسانی — یعنی هاپف و ردهٔ ۲.
نمونهٔ کلاسیکِ این جابهجایی، مدلِ کانر–استیونز است. کانر و استیونز به همان چارچوبِ رساناییمحور یک جریانِ پتاسیمیِ گذرا افزودند، جریانِ نوعِ A (\(I_A\))، که در ولتاژهای هایپرپلاریزه از غیرفعالشدگی درمیآید و نزدیکِ آستانه بهکندی غیرفعال میشود. دروازهٔ غیرفعالسازیِ این جریانِ خروجی یک متغیرِ تقویتکننده است، و افزودنش مدل را از ردهٔ ۲ به ردهٔ ۱ میبرد. یک جریان، و رده عوض میشود:
منحنیِ f–I، محاسبهشده بهصورتِ عددی برای هر دو مدل با همان انتگرالگیرِ اویلرِ این کتاب. چپ (هاجکین–هاکسلی ۱۹۵۲): شلیک در رئوبیس با بسامدی حدودِ ۵۰ هرتز ناگهان روشن میشود — ردهٔ ۲. راست (کانر–استیونز، همان چارچوب بهعلاوهٔ \(I_A\)): بسامد بهصورتِ پیوسته از صفر بالا میآید و مدل بسامدهای چندهرتزیِ پایدار را نگه میدارد — ردهٔ ۱. تفاوت در چارچوبِ مدلسازی نیست، در ترکیبِ جریانها نزدیکِ آستانه است.
رده یک برچسبِ ثابت نیست
وسوسهانگیز است که «ردهٔ ۱ بودن» را مانندِ یک صفتِ ژنتیکیِ سلول ببینیم. نیست. سه هشدار:
-
نوفه منحنی را صاف میکند. در شرایطِ درونتنی، بمبارانِ سیناپسیِ پسزمینه باعث میشود نورون حتی زیرِ رئوبیس هم گاهی شلیک کند؛ منحنیِ f–Iِ اندازهگیریشده هموار و پیوسته میشود، حتی برای سلولی که ذاتاً ردهٔ ۲ است (چنس، ابوت و ریس، ۲۰۰۲). پس نمیتوان رده را تنها از روی یک منحنیِ f–Iِ نوفهای تشخیص داد؛ نشانههای استوارتر، منحنیِ پاسخِ فاز (فصلِ نوسانگرها)، وجود یا نبودِ تشدیدِ زیرِآستانه، و رفتارِ همگامسازیاند.
-
حالتِ درونتنی میتواند رده را جابهجا کند. پرسکات و همکاران (۲۰۰۸) نشان دادند که همان سلولِ هرمی که در برشِ مغزی یک انتگرالگر است، زیرِ رسانایی و نوفهٔ بالای شرایطِ شبهدرونتنی به یک تشدیدگر میل میکند. رده تابعِ حالتِ عملیاتی است، نه فقط تابعِ سلول.
-
تنظیمِ عصبی همان کار را میکند. استیلکولین با فروکاستنِ \(I_M\) — یک متغیرِ تشدیدی — سلول را به سمتِ ردهٔ ۱ میبرد. یعنی مغز میتواند ردهٔ تحریکپذیریِ نورونهایش را، برحسبِ حالتِ رفتاری، تغییر دهد.
چرا این تمایز برای بقیهٔ کتاب مهم است؟ چون رده تعیین میکند که نورون چگونه همگام میشود. نورونِ ردهٔ ۱ منحنیِ پاسخِ فازِ همیشهمثبت دارد (هر ورودیِ تحریکی اسپایکِ بعدی را جلو میاندازد)، حال آنکه نورونِ ردهٔ ۲ منحنیِ پاسخِ فازِ دوعلامتی دارد و میتواند با ورودیِ تحریکی بهتأخیر بیفتد. نتیجه این است که جمعیتی از سلولهای ردهٔ ۲ با کوپلینگِ ساده بهآسانی همگام میشود، در حالی که جمعیتِ ردهٔ ۱ چنین نیست. همین، یکی از دلایلِ نقشِ محوریِ اینترنورونهای PV+ در ساختنِ نوسانِ گاما در شبکههای تحریکی–مهاری است — موضوعی که در فصلِ نوسانات در شبکههای تحریکی-مهاری به آن بازمیگردیم.
تمرینها (نوعِ ۱ و نوعِ ۲)
پیش از دیدنِ پاسخ، خودتان استدلال و محاسبه را انجام دهید؛ سپس پاسخ را بگشایید.
تمرینِ ۱
قانونِ ریشهٔ دوم. برای QIF با \(I>0\) نشان دهید که \(\int_{-\infty}^{\infty} dv/(v^2+I)=\pi/\sqrt{I}\) و از آنجا \(f=\sqrt{I}/\pi\). با کدِ qif_rate بررسی کنید که با بزرگشدنِ دامنهٔ بازنشانی، منحنی به این حدِ پیوسته نزدیک میشود.
پاسخ
پادمشتقِ \(1/(v^2+I)\) برابرِ \(\tfrac{1}{\sqrt{I}}\arctan\!\big(v/\sqrt{I}\big)\) است. با گرفتنِ حدِ \(v\to\pm\infty\)، مقدارِ \(\arctan\) به \(\pm\pi/2\) میرود، پس
چون این انتگرال همان دورهٔ \(T\) است، \(f=1/T=\sqrt{I}/\pi\). دامنههای متناهیِ بازنشانی و اوج، \(\arctan\) را کمی کوتاهتر از \(\pm\pi/2\) میبرند؛ هرچه این دامنهها بزرگتر شوند، \(T\) به حدِ پیوستهٔ بالا و منحنی به \(\sqrt{I}/\pi\) نزدیکتر میشود:
import numpy as np
for cap in (5, 20, 100, 1000):
T = (np.arctan(cap/np.sqrt(0.7)) - np.arctan(-cap/np.sqrt(0.7))) / np.sqrt(0.7)
print(f"reset/peak = +/-{cap:5d}: f = {1/T:.4f} (limit {np.sqrt(0.7)/np.pi:.4f})")
خروجی نشان میدهد که با بزرگشدنِ دامنه، \(f\) از پایین به مقدارِ حدیِ \(\sqrt{0.7}/\pi\approx 0.2663\) همگرا میشود. نکتهٔ کلیدی: چون \(f\propto\sqrt{I}\) و در \(I=0\) صفر است، QIF میتواند با بسامدِ دلخواهکوچک شلیک کند — امضای ردهٔ ۱.
تمرینِ ۲
شبحِ زین–گره. برای \(\dot x = x^2 + a\) با \(a>0\)، زمانِ عبورِ \(x\) از \(-\infty\) تا \(+\infty\) را حساب کنید و تأیید کنید که مانندِ \(1/\sqrt{a}\) رفتار میکند. توضیح دهید چرا همین، قانونِ \(f\propto\sqrt{I-I_c}\) را برای نورونهای ردهٔ ۱ توجیه میکند.
پاسخ
برای \(a>0\) هیچ نقطهٔ ثابتی نیست و \(x\) در زمانِ متناهی از \(-\infty\) تا \(+\infty\) میگریزد. با جداسازیِ متغیرها، این زمان همان انتگرالِ مسئلهٔ ۱ (با جایگذاریِ \(I\to a\)) است:
یعنی هرچه \(a\) به صفر نزدیکتر باشد (نزدیکتر به انشعابِ زین–گره)، عبور از «شبحِ» گلوگاهِ کند بیشتر طول میکشد و \(T\to\infty\). حالا برای یک نورونِ ردهٔ ۱، درست پس از انشعابِ SNIC، دینامیکِ نزدیکِ گلوگاه به همین صورتِ نرمالِ \(\dot x=x^2+a\) با \(a\propto(I-I_c)\) فروکاسته میشود. پس دورهٔ کلِ چرخه را همین عبورِ کند تعیین میکند:
که بسامد را از صفر و بهصورتِ پیوسته بالا میبرد — دقیقاً قانونِ ریشهٔ دومِ ردهٔ ۱.
تمرینِ ۳
رده را در آزمایشگاه چگونه تشخیص میدهید؟ فرض کنید از یک نورونِ ناشناختهٔ قشری ثبتِ درونسلولی دارید و باید بگویید ردهٔ ۱ است یا ردهٔ ۲. سه پروتکلِ اندازهگیری پیشنهاد دهید و برای هرکدام بگویید چه چیزی را میبینید و چرا آن اندازهگیری از یک منحنیِ f–Iِ ساده استوارتر است.
پاسخ
یک منحنیِ f–Iِ ساده بهتنهایی گمراهکننده است: با نوفهٔ سیناپسی، ناپیوستگیِ یک سلولِ ردهٔ ۲ هموار میشود و منحنی پیوسته بهنظر میرسد. سه سنجهٔ استوارتر:
-
f–I با گامهای بسیار ریز و بدونِ نوفه (برشِ مغزی، جریانِ DC). رده را از کمینهبسامدِ شلیکِ پایدار بخوانید، نه از شکلِ کلیِ منحنی: اگر سلول میتواند پایدار با ۲ تا ۳ هرتز شلیک کند ردهٔ ۱ است؛ اگر زیرِ ۱۰ تا ۳۰ هرتز اصلاً شلیکِ پایدار ندارد ردهٔ ۲. این همان روشی است که تاتنو و همکاران بهکار بردند.
-
تشدیدِ زیرِآستانه (ZAP). یک جریانِ سینوسی با بسامدِ جاروشونده و دامنهٔ زیرِآستانه تزریق کنید و امپدانس را بر حسبِ بسامد بکشید. نورونِ ردهٔ ۲ (تشدیدگر) یک قلهٔ امپدانس در بسامدی ناصفر نشان میدهد؛ نورونِ ردهٔ ۱ (انتگرالگر) صافیِ پایینگذرِ ساده است، بیقله. این آزمون به آستانه دست نمیزند و نوفه آن را از بین نمیبرد.
-
منحنیِ پاسخِ فاز (PRC). سلول را با جریانِ ثابت به شلیکِ منظم وادارید، در فازهای مختلفِ چرخه یک پالسِ تحریکیِ کوتاه بدهید و تغییرِ فازِ اسپایکِ بعدی را اندازه بگیرید. PRCِ همیشهمثبت نشانهٔ ردهٔ ۱ است؛ PRCِ دوعلامتی (ناحیهای که ورودیِ تحریکی اسپایک را به تأخیر میاندازد) نشانهٔ ردهٔ ۲. این سنجه مستقیماً همان چیزی را میسنجد که برای پیشبینیِ همگامسازی در شبکه لازم است.
نکتهٔ روششناختی: هر سه سنجه در واقع دارند سرشتِ انشعاب را میسنجند، نه یک عدد را. هرگاه بتوانید کمیتی را اندازه بگیرید که مستقیماً به ساختارِ انشعاب گره خورده باشد، آن را بر کمیتهای پدیدارشناختی ترجیح دهید.
۹. راهِ پژوهش (الف): نقشهٔ رفتار در صفحهٔ \((I, b)\)
نمودارِ تکپارامتری بالا تنها برشی از تصویرِ کامل است. پرسشِ عمیقتر این است که رفتار چگونه به دو پارامتر همزمان بستگی دارد. جریانِ \(I\) و پارامترِ بازیابیِ \(b\) را جارو میکنیم و در هر نقطهٔ \((I,b)\) رفتار را ردهبندی میکنیم: تکپایدار (یک تعادلِ پایدار = استراحت)، دوپایدار (دو تعادلِ پایدار)، یا شلیکِ دورهای (هیچ تعادلِ پایداری نیست ← چرخهٔ حدی).
def fhn_regime(a, b, tau, I):
"""Label the (I, b) cell as monostable / bistable / periodic."""
eqs = fhn_equilibria(a, b, tau, I)
stable = [(np.trace(fhn_jacobian(v, w, a, b, tau, I)) < 0 and
np.linalg.det(fhn_jacobian(v, w, a, b, tau, I)) > 0)
for v, w in eqs]
if not any(stable):
return "periodic"
return "bistable" if sum(stable) >= 2 else "monostable"
نقشهٔ رفتارِ فیتزهیو–ناگومو در صفحهٔ \((I_\text{ext}, b)\). آبی: تکپایدار (استراحت). بنفش: دوپایدار. قرمز: شلیکِ دورهای (چرخهٔ حدی). مرزهای میانِ این نواحی خمینههای انشعاباند (هاپف و زین–گره) که در نقاطی همبُعدِدو به هم میرسند. این نوع نقشه دقیقاً همان چیزی است که در مقالههای واقعیِ دینامیکِ نورونی برای ردهبندیِ «نوعِ تحریکپذیریِ» یک نورون به کار میرود.
این نقشه ربطِ مستقیم به علوم اعصاب دارد: ردهٔ تحریکپذیریِ یک نورون (نوعِ ۱ در برابرِ نوعِ ۲، بخشِ ۸) با همین ساختارِ انشعاب در فضای پارامتر تعیین میشود — مرزهای هاپف به نوعِ ۲ و مرزهای زین–گره (SNIC) به نوعِ ۱ میانجامند.
۱۰. راهِ پژوهش (ب): ورودیِ وابسته به زمان
تا اینجا \(I_\text{ext}\) را ثابت نگه داشتیم تا دستگاه خودگردان بماند. اما نورونهای واقعی ورودیِ متغیر با زمان میگیرند. با \(I_\text{ext}=I_\text{ext}(t)\) دستگاه ناخودگردان میشود؛ دیگر نمیتوان از «نقاطِ ثابتِ» ساده حرف زد، اما شهودِ صفحهٔ فاز همچنان راهنماست — کافی است ببینیم با بالاوپایینرفتنِ نولکلینِ \(v\) همراهِ ورودی، مسیر چه میکند.
def fhn_driven(x, t, a, b, tau, I_of_t):
v, w = x
return np.array([v - v**3 - w + I_of_t(t), (v - a - b*w)/tau])
step = lambda t: 0.0 if t < 120 else 0.4
periodic = lambda t: 0.25 + 0.25*np.sin(0.10*t)
پاسخِ فیتزهیو–ناگومو به ورودیِ وابسته به زمان (منحنیِ نارنجی ورودی، آبی پاسخِ \(v(t)\)). بالا — ورودیِ پلهای: سلول تا لحظهٔ پله خاموش است، سپس وارد رژیمِ شلیک میشود. پایین — ورودیِ کندِ دورهای: هرگاه ورودی از آستانهٔ شلیک بالا برود، دستهای از اسپایکها ظاهر میشود و هرگاه پایین بیاید، خاموشی — یک الگوی دستهای (bursting) که با آهنگِ ورودی همگام است.
با گسترشِ این ایده میتوان چهار نوعِ ورودی را در کنارِ هم بررسی کرد. شکلِ زیر (با \(b=1.4\) و دو شرطِ اولیه) همین کار را میکند و یک رفتارِ تازه را نیز آشکار میسازد: اگر در یک پلهٔ دوم جریان را بسیار بزرگ کنیم، سلول از شلیک به یک حالتِ پایای دپلاریزه میپرد — همان انسدادِ تحریکِ بخشِ ۷، اینبار در حوزهٔ زمان.
پاسخِ فیتزهیو–ناگومو ( \(b=1.4\) ) به چهار نوعِ ورودی (منحنیِ سبز ورودیِ \(I\)، آبی پاسخِ \(v\))؛ دو ستون، دو شرطِ اولیهٔ متفاوت. ردیفِ ۱ — پله: خاموشی، سپس شلیکِ منظم. ردیفِ ۲ — پلهٔ دوگانه: شلیک پس از پلهٔ نخست، و سپس انسدادِ تحریک (نشستن در یک حالتِ بالا) پس از پلهٔ بزرگترِ دوم. ردیفِ ۳ — ورودیِ دورهای: همگامیِ شلیک با آهنگِ ورودی. ردیفِ ۴ — جریانِ ورودیِ نوفهای: پاسخِ نامنظمِ سلول به یک ورودیِ تصادفی. توجه کنید که پاسخ به شرطِ اولیه تقریباً ناوابسته است (دو ستون بسیار شبیهاند) — نشانهٔ آنکه دینامیکِ بلندمدت را ورودی تعیین میکند، نه نقطهٔ آغاز.
۱۱. راهِ پژوهش (ج): نوفه و شلیکِ القاشده با نوفه
سرانجام، نورونهای واقعی نوفهایاند. معادلهٔ معمولی را با یک معادلهٔ دیفرانسیلِ تصادفی (SDE) جایگزین میکنیم و با طرحِ اویلر–مارویاما (فصلِ حل عددی معادلات دیفرانسیل تصادفی) حل میکنیم — همان اویلرِ پیشرو با یک جملهٔ نوفه که با \(\sqrt{dt}\) مقیاس میخورد:
def euler_maruyama(drift, sigma, y0, t):
"""Integrate dY = drift(Y,t) dt + sigma dB (noise on v only)."""
y = np.zeros((len(t), len(y0)))
y[0] = y0
for n, dt in enumerate(np.diff(t), 1):
dB = np.random.normal(0.0, np.sqrt(dt))
y[n] = y[n-1] + drift(y[n-1], t[n]) * dt + np.array([sigma, 0.0]) * dB
return y
اگر سلول را در رژیمِ تحریکپذیر، کمی زیرِ آستانهٔ شلیک، نگه داریم و نوفه بیفزاییم، نشانهٔ شاخصِ تحریکپذیری پدیدار میشود: بیشترِ نوسانها میرا میشوند، اما گردشِ بزرگِ گاهبهگاه از آستانه میگذرد و یک اسپایکِ کامل میزند.
شلیکِ القاشده با نوفه در رژیمِ تحریکپذیر ( \(I=0.05\)، اندکی زیرِ آستانه). بالا — بدونِ نوفه: سلول پس از یک پاسخِ گذرا، آرام زیرِ آستانه مینشیند. پایین — با نوفه: نوفهٔ تصادفی گاهبهگاه سلول را از آستانه میگذراند و اسپایکهایی با فاصلههای نامنظم تولید میکند. این، سازوکارِ بنیادیِ شلیکِ خودبهخودیِ نورونها در نبودِ ورودیِ معیّن است.
برای دیدنِ روشنترِ نقشِ نوفه، سودمند است که مسیرِ تصادفی (SDE) را در کنارِ مسیرِ قطعیِ متناظر (ODE) رسم کنیم. در دو رژیم: استراحت ( \(I=0\) ) و شلیک ( \(I=0.23\) )، با \(b=1.4\) — مقداری که سلول را نزدیکِ مرزِ هاپف نگه میدارد و اثرِ نوفه را برجسته میکند.
import scipy.integrate
scenarios = [{"tau": 20, "b": 1.4, "a": -0.3, "I": 0.0},
{"tau": 20, "b": 1.4, "a": -0.3, "I": 0.23}]
initial_conditions = [(-0.5, -0.1), (0.0, -0.16)]
time_s = np.linspace(0, 1000, 20001)
trajectory, stochastic = {}, {}
for i, param in enumerate(scenarios):
flow = partial(fitzhugh_nagumo, **param)
for j, ic in enumerate(initial_conditions):
trajectory[i, j] = scipy.integrate.odeint(flow, ic, time_s) # ODE
stochastic[i, j] = euler_maruyama(flow, 0.16, ic, time_s) # SDE
مقایسهٔ مسیرِ تصادفی (خطِ توپُر، v (SDE)) با مسیرِ قطعی (خطچین، v (ODE)) برای دو شرطِ اولیه. ردیفِ بالا ( \(I=0\) ): مسیرِ قطعی در استراحت میماند (خطِ افقیِ پایین)، اما نوفه گاهبهگاه اسپایکهای منفرد میسازد — شلیکِ القاشده با نوفه. ردیفِ پایین ( \(I=0.23\) ): مسیرِ قطعی روی یک چرخهٔ حدیِ منظم شلیک میکند، و نوفه تنها زمانبندیِ اسپایکها را اندکی بههم میریزد (لرزشِ فاز).
و همین مسیرها در صفحهٔ فاز، روی میدانِ برداری و نولکلینها:
مسیرهای تصادفی در صفحهٔ فاز ( \(b=1.4\) )؛ خطوطِ خطچینِ خاکستری نولکلینها و پیکانهای خاکستری میدانِ برداریاند. چپ ( \(I=0\) ): مسیرها بیشترِ وقت نزدیکِ نقطهٔ استراحت (پایین–چپ) میلرزند، اما گاهبهگاه نوفه آنها را در یک گردشِ بزرگِ تحریکپذیر میاندازد. راست ( \(I=0.23\) ): مسیرها چرخهٔ حدی را پُر میکنند و نوفه آن را به یک نوارِ پهن بدل میکند. این تصویر نشان میدهد چگونه نوفه، ساختارِ هندسیِ زیربنایی (نقطهٔ استراحت در برابرِ چرخهٔ حدی) را آشکار میکند، نه پنهان.
نوفه روی چه چیزی؟
در این مثالها نوفه تنها به معادلهٔ \(v\) افزوده شده (شبیهسازِ نوسانِ تصادفیِ جریانِ غشا). میتوان نوفه را به \(w\) یا به هر دو نیز افزود؛ انتخابِ محلِ نوفه به فرضِ زیستی دربارهٔ منشأِ آن بستگی دارد و بر نتیجه اثر میگذارد.
پیوندها و پروژهها
فیتزهیو–ناگومو پلی است میانِ نظریهٔ سیستمهای دینامیکی و زیستِفیزیکِ نورون. همان ابزارهایی که اینجا به کار بردیم — نولکلینها، ژاکوبین، انشعابِ هاپف، نقشهٔ پارامتر — مستقیماً به مدلِ کاملِ هاجکین–هاکسلی و به مدلهای سادهشده مانندِ غشای تحریکپذیر تعمیم مییابند. شبکهای از همین نورونها نیز در فصلِ عددی (نمونهٔ پنجاه نورونِ فیتزهیو–ناگومو) شبیهسازی شد.
تمرینها و پروژهها
نخست بکوشید هر مسئله را با توابعِ همین فصل (fitzhugh_nagumo، fhn_equilibria، fhn_jacobian، stability) خودتان حل کنید؛ سپس پاسخ یا راهنمای حل را بگشایید.
تمرینِ ۱
(تمرین) نمایشِ آستانه. صفحهٔ فاز را بازتولید کنید. با آغاز از کمی پایینتر و کمی بالاتر از شاخهٔ میانیِ منحنیِ سهگانه، نشان دهید که یک شرطِ اولیه میرا میشود و دیگری یک اسپایکِ کامل میزند — نمایشِ مستقیمِ آستانه.
پاسخ
در \(I=0\) دستگاه یک نقطهٔ ثابتِ پایدار (استراحت) دارد و شاخهٔ میانیِ منحنیِ سهگانه نقشِ مرزِ آستانه را بازی میکند. دو شرطِ اولیه با ولتاژِ آغازینِ کمی متفاوت میگیریم و ردِ \(v(t)\) را میسنجیم.
import numpy as np, scipy.integrate
from functools import partial
base = {"a": -0.3, "b": 1.0, "tau": 20, "I": 0.0}
time = np.linspace(0, 200, 4000)
for v0 in (-0.5, -0.4): # just below / above threshold, same w0
tr = scipy.integrate.odeint(partial(fitzhugh_nagumo, **base),
y0=(v0, -0.4), t=time)
print(f"v0={v0}: peak v = {tr[:,0].max():+.2f}")
شرطِ اولیهٔ زیرِ آستانه (\(v_0=-0.5\)) بیشینهولتاژی نزدیکِ استراحت دارد (\(\approx -0.43\)، میرا میشود)، اما شرطِ اولیهٔ اندکی بالاتر (\(v_0=-0.4\)) پیش از بازگشت به یک بیشینهولتاژِ بزرگ (\(\approx +1.1\)) میجهد — یک اسپایکِ کامل. جابهجاییِ ناچیزِ \(v_0\) پاسخِ «همه یا هیچ» را روشن میکند. (کافی است v0 را میانِ این دو ریزتر جارو کنید تا مقدارِ دقیقِ آستانه را بیابید.)
تمرینِ ۲
(تمرین) انشعابِ هاپفِ پایینی را در \(I\) (برای \(b=1.0\) ) با یافتنِ جایی که \(\operatorname{Tr}(J)\) در تعادل علامت عوض میکند، دقیق مکانیابی کنید. تأیید کنید که شلیک از همانجا آغاز میشود.
پاسخ
برای \(b=1.0\) در هر \(I\) یک تعادلِ یگانه هست؛ اثرِ ژاکوبین آن را دنبال میکنیم و جایی را که علامت عوض میکند مییابیم (انشعابِ هاپف: \(\operatorname{Tr}(J)=0\) با \(\det(J)>0\)).
import numpy as np
a, b, tau = -0.3, 1.0, 20
prev, I_hopf = None, []
for I in np.linspace(-0.2, 1.0, 24001):
v, w = fhn_equilibria(a, b, tau, I)[0] # unique equilibrium
tr = np.trace(fhn_jacobian(v, w, a, b, tau, I))
s = tr > 0
if prev is not None and s != prev:
I_hopf.append(round(I, 4))
prev = s
print("Hopf currents:", I_hopf) # lower and upper
خروجی: تعادل در \(I\approx 0.122\) ناپایدار میشود (هاپفِ پایینی) و در \(I\approx 0.478\) دوباره پایدار (هاپفِ بالایی). اگر مدل را برای \(I\) اندکی بالای \(0.122\) بشبیهسازید، یک چرخهٔ حدیِ پایدار و شلیکِ دورهای میبینید — پس شلیک دقیقاً از همان هاپفِ پایینی آغاز میشود.
تمرینِ ۳
(تمرین) \(I\) را از هاپفِ بالایی فراتر ببرید و ** انسدادِ تحریک را نشان دهید: سلول دوباره خاموش میشود.**
پاسخ
از مسئلهٔ ۲ میدانیم هاپفِ بالایی نزدیکِ \(I\approx 0.478\) است. مدل را برای یک \(I\) درونِ نوارِ شلیک و یک \(I\) بالای هاپفِ بالایی میرانیم و دامنهٔ نوسانِ پایا را میسنجیم.
import numpy as np, scipy.integrate
from functools import partial
time = np.linspace(0, 400, 8000)
for I in (0.3, 0.6): # inside firing band / past upper Hopf
p = {"a": -0.3, "b": 1.0, "tau": 20, "I": I}
v = scipy.integrate.odeint(partial(fitzhugh_nagumo, **p),
y0=(0.0, -0.1), t=time)[4000:, 0] # steady part
print(f"I={I}: v swing = {v.max() - v.min():.3f}")
برای \(I=0.3\) دامنهٔ نوسان بزرگ است (چرخهٔ حدی، شلیکِ پیوسته)، اما برای \(I=0.6\) دامنه تقریباً صفر میشود: سلول در یک حالتِ پایای بالا و دپلاریزه میخکوب و خاموش میشود. این همان انسدادِ تحریک است — جریانِ بیشازحد شلیک را متوقف میکند.
تمرینِ ۴
(پروژه) منحنیِ بسامد–جریان (f–I) را برای فیتزهیو–ناگومو بهصورتِ عددی بسازید: بسامدِ شلیک را از فاصلهٔ زمانیِ اسپایکها بر حسبِ \(I\) رسم کنید. تأیید کنید که در آستانه میپرد — یعنی این نورون از نوعِ ۲ است (بخشِ ۸) — و در جریانِ زیاد بهسببِ انسدادِ تحریک قطع میشود.
راهنمای حل
برای هر \(I\) روی یک جاروی ریز، مدل را بهقدرِ کافی طولانی برانید تا گذارها فروکش کند، سپس اسپایکها را بهصورتِ عبورِ روبهبالای \(v\) از یک آستانه (مثلاً \(v=0\)) در نیمهٔ دومِ سری تشخیص دهید و بسامد را از میانگینِ فاصلهٔ زمانیِ اسپایکها بگیرید:
def firing_freq(I, a=-0.3, b=1.0, tau=20):
t = np.linspace(0, 2000, 40001)
v = scipy.integrate.odeint(partial(fitzhugh_nagumo, a=a, b=b, tau=tau, I=I),
y0=(0.0, -0.1), t=t)[:, 0]
h = len(t)//2
cr = np.where((v[h:-1] < 0) & (v[h+1:] >= 0))[0]
return 0.0 if len(cr) < 2 else 1.0/np.mean(np.diff(t[h:][cr]))
منحنیِ حاصل ویژگیهای ردهٔ ۲ را نشان میدهد: شلیک نزدیکِ \(I\approx 0.12\) با یک بسامدِ ناصفر ناگهان روشن میشود (منحنی در آستانه میپرد، نه اینکه از صفر پیوسته بالا بیاید)، در میانه تقریباً هموار میماند، و نزدیکِ \(I\approx 0.48\) بهسببِ انسدادِ تحریک دوباره به صفر میافتد. این را با شکلِ نوعِ ۲ در بخشِ ۸ بسنجید و در برابرِ منحنیِ پیوستهٔ QIF (نوعِ ۱) بگذارید.
تمرینِ ۵
(پروژه) مدلِ تصادفی را برای دامنههای مختلفِ نوفه اجرا کنید و آهنگِ اسپایک را بر حسبِ سطحِ نوفه اندازه بگیرید. سپس بررسی کنید که آیا یک سطحِ نوفهٔ بهینه وجود دارد که منظمترین شلیک را میدهد (پدیدهٔ تشدیدِ همدوسی، coherence resonance).
راهنمای حل
از تابعِ euler_maruyama بخشِ ۱۱ استفاده کنید و سلول را در رژیمِ تحریکپذیرِ زیرِ آستانه نگه دارید (مثلاً \(I=0.05\)). برای هر دامنهٔ نوفهٔ \(\sigma\) روی یک جارو:
- اسپایکها را تشخیص دهید و فاصلههای میاناسپایکی (ISI) را گرد آورید.
- آهنگِ اسپایک با \(\sigma\) بهصورتِ یکنوا افزایش مییابد (نوفهٔ بیشتر، گذرِ بیشتر از آستانه).
- برای سنجشِ نظم، ضریبِ تغییراتِ ISI را حساب کنید: \(\mathrm{CV}=\sigma_{\mathrm{ISI}}/\mu_{\mathrm{ISI}}\). این کمیت را بر حسبِ \(\sigma\) رسم کنید.
نشانهٔ تشدیدِ همدوسی یک کمینهٔ \(\mathrm{CV}\) در یک نوفهٔ میانیِ بهینه است: نوفهٔ خیلی کم اسپایکهای پراکنده و نامنظم میدهد و نوفهٔ خیلی زیاد دوباره بینظمی میآورد، اما در میانه شلیک تقریباً منظم میشود. برای هر \(\sigma\) چند اجرا میانگین بگیرید تا منحنی هموار شود.
برای مطالعهٔ بیشتر:
- Hodgkin, A.L., 1948. The local electric changes associated with repetitive action in a non-medullated axon. The Journal of Physiology 107(2), 165–181. (the original three classes of excitability)
- Izhikevich, E.M., 2007. Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting. MIT Press. (amplifying vs resonant gating variables; SNIC, Hopf and the integrator/resonator distinction)
- Börgers, C., 2017. An Introduction to Modeling Neuronal Dynamics. Springer. (ch. 12–14, 17)
- Connor, J.A. and Stevens, C.F., 1971. Prediction of repetitive firing behaviour from voltage clamp data on an isolated neurone soma. The Journal of Physiology 213(1), 31–53.
- Tateno, T., Harsch, A. and Robinson, H.P.C., 2004. Threshold firing frequency–current relationships of neurons in rat somatosensory cortex: type 1 and type 2 dynamics. Journal of Neurophysiology 92(4), 2283–2294.
- Chance, F.S., Abbott, L.F. and Reyes, A.D., 2002. Gain modulation from background synaptic input. Neuron 35(4), 773–782.
- Prescott, S.A., Ratté, S., De Koninck, Y. and Sejnowski, T.J., 2008. Pyramidal neurons switch from integrators in vitro to resonators under in vivo-like conditions. Journal of Neurophysiology 100(6), 3030–3042.
- Prescott, S.A., De Koninck, Y. and Sejnowski, T.J., 2008. Biophysical basis for three distinct dynamical mechanisms of action potential initiation. PLoS Computational Biology 4(10), e1000198.